Бином Ньютона, Функции и Декартово Произведение

#БиномНьютона #МатематическаяИндукция #Функции #ДекартовоПроизведение #ОтношениеЭквивалентности #НатуральныеЧисла #ЦелыеЧисла #РациональныеЧисла

Бином Ньютона и его Обобщение

Начнем с формулы бинома Ньютона, которую мы ранее доказали:

$$(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\alpha} C_{\alpha}^k x^k$$

где $C_{\alpha}^k = \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-k+1)}{k!}$.

Распишем эту формулу подробнее: При $k=0$: $C_{\alpha}^0 x^0 = 1$ При $k=1$: $C_{\alpha}^1 x^1 = \alpha x$ При $k=2$: $C_{\alpha}^2 x^2 = \frac{\alpha(\alpha-1)}{2} x^2$ И так далее. На $k$-м шаге слагаемое будет:

$$\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-k+1)}{k!} x^k$$

Эта сумма конечна, когда $\alpha$ является натуральным числом, так как в произведении $\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-k+1)$ появится множитель $(\alpha-\alpha)$, то есть 0.

Ньютон заметил, что эта формула может быть обобщена и на случаи, когда $\alpha$ не является натуральным числом (например, целым отрицательным или дробным). В таких случаях сумма становится бесконечной.

Примеры Обобщения Бинома Ньютона

1. Случай $\alpha = -1$: Рассмотрим выражение $(1+x)^{-1} = \frac{1}{1+x}$. Мы знаем из школьного курса, что $\frac{1}{1-q} = 1+q+q^2+q^3+\dots$ (сумма бесконечной геометрической прогрессии). Если подставить $q = -x$, то получим:

   $$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots$$

   Теперь применим формулу бинома Ньютона для $\alpha = -1$:

   • $k=0$: $1$
   • $k=1$: $\alpha x = (-1)x = -x$
   • $k=2$: $\frac{\alpha(\alpha-1)}{2} x^2 = \frac{(-1)(-1-1)}{2} x^2 = \frac{(-1)(-2)}{2} x^2 = x^2$
   • $k=3$: $\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 = \frac{(-1)(-2)(-3)}{6} x^3 = -x^3$ Мы видим, что бином Ньютона дает тот же результат: $1 - x + x^2 - x^3 + \dots$.

2. Случай $\alpha = \frac{1}{2}$: Мы хотим найти разложение для $(1+x)^{1/2} = \sqrt{1+x}$. Предположим, что это разложение имеет вид:

   $$\sqrt{1+x} = 1 + C_1 x + C_2 x^2 + \dots$$

   (Начинается с 1, потому что при $x=0$ обе части равны 1). Возведем обе части в квадрат:

   $$1+x = (1 + C_1 x + C_2 x^2 + \dots)^2$$

   Раскроем скобки в правой части и сгруппируем по степеням $x$:

   $$1+x = 1 + (2C_1)x + (C_1^2 + 2C_2)x^2 + \dots$$

   Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ слева и справа:

   • Коэффициент при $x^1$: $1 = 2C_1 \Rightarrow C_1 = \frac{1}{2}$
   • Коэффициент при $x^2$: $0 = C_1^2 + 2C_2 \Rightarrow 0 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2C_2 \Rightarrow 0 = \frac{1}{4} + 2C_2 \Rightarrow C_2 = -\frac{1}{8}$ Теперь сравним эти коэффициенты с теми, что дает бином Ньютона для $\alpha = \frac{1}{2}$:
   • $C_1 = \alpha = \frac{1}{2}$ (совпадает)
   • $C_2 = \frac{\alpha(\alpha-1)}{2} = \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2} = \frac{\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})}{2} = -\frac{1}{8}$ (совпадает) Ньютон заметил это удивительное свойство, что формула бинома работает и для нецелых $\alpha$. Это наблюдение легло в основу того, что позже стало известно как ряд Тейлора. В конце семестра мы научимся строить такие разложения для произвольных функций.

Понятие Функции

Определение Функции

Функция $f$ из множества $X$ в множество $Y$, обозначаемая как $f: X \to Y$, — это правило (соответствие, сопоставление), которое каждому элементу $x \in X$ ставит в соответствие ровно один элемент $y \in Y$. Этот элемент $y$ обозначается как $f(x)$.

Пример не-функции: Сопоставление, которое каждому $x$ ставит в соответствие $y$ такое, что $y^2 = x$. Например, для $x=1$, $y$ может быть $1$ или $-1$. Это нарушает условие "ровно один $y$".

Декартово Произведение Множеств

Для более строгого определения функции нам понадобится понятие упорядоченной пары и декартова произведения.

Неупорядоченная пара: Множество из двух элементов $\{x, y\}$ называется неупорядоченной парой. Упорядоченная пара: Пара элементов $(x, y)$, где $x$ — первый элемент, а $y$ — второй.

Определение Декартова Произведения: Декартово произведение двух множеств $X$ и $Y$, обозначаемое $X \times Y$, — это множество всех упорядоченных пар $(x, y)$, где $x \in X$ и $y \in Y$.

$$X \times Y = \{ (x, y) \mid x \in X, y \in Y \}$$

Визуализация Декартова Произведения:

• Таблица: Если $X$ и $Y$ конечны, $X \times Y$ можно представить в виде таблицы, где по строкам элементы $X$, по столбцам элементы $Y$, а в клетках — пары $(x,y)$.
• Геометрические примеры:
  • Прямая $\times$ Прямая = Плоскость: Если $X$ и $Y$ — это множества точек на двух прямых, то $X \times Y$ можно изобразить как декартову систему координат на плоскости. Каждая точка плоскости однозначно задается парой координат $(x,y)$.
  • Окружность $\times$ Прямая = Цилиндр: Если $X$ — окружность, а $Y$ — прямая, то $X \times Y$ представляет собой поверхность цилиндра. Каждая точка на цилиндре задается углом (положением на окружности) и высотой (положением на прямой).
  • Окружность $\times$ Окружность = Тор: Если $X$ и $Y$ — две окружности, то $X \times Y$ можно изобразить как поверхность тора (бублика). Каждая точка на торе задается двумя углами.

График Функции

Если задана функция $f: X \to Y$, то в декартовом произведении $X \times Y$ можно определить подмножество, называемое графиком функции $f$, обозначаемое $\Gamma_f$:

$$\Gamma_f = \{ (x, y) \in X \times Y \mid y = f(x) \}$$

Свойства графика функции:

1. Существование $y$ для каждого $x$: Для каждого $x \in X$ существует пара $(x, y) \in \Gamma_f$.
2. Единственность $y$ для каждого $x$: Если $(x, y) \in \Gamma_f$ и $(x, z) \in \Gamma_f$, то $y = z$.

Определение функции на языке теории множеств: Функция из $X$ в $Y$ — это подмножество $\Gamma_f \subseteq X \times Y$, удовлетворяющее свойствам 1 и 2. Это определение подчеркивает, что функция и ее график — это, по сути, одно и то же.

Операции на Множествах

Алгебраическая Операция

Говорят, что на множестве $X$ задана операция $\circ$, если задана функция из $X \times X$ в $X$. То есть, каждой упорядоченной паре элементов $(x_1, x_2)$ из $X$ сопоставляется элемент $x_1 \circ x_2 \in X$.

Примеры:

• Сложение чисел: $(a, b) \to a+b$.
• Умножение чисел: $(a, b) \to a \cdot b$.
• Деление на натуральных числах не является операцией, так как результат (например, $2/3$) может не принадлежать множеству натуральных чисел.

Свойства операций:

1. Коммутативность: Операция $\circ$ коммутативна, если для любых $x_1, x_2 \in X$:

   $$x_1 \circ x_2 = x_2 \circ x_1$$

2. Ассоциативность: Операция $\circ$ ассоциативна, если для любых $x_1, x_2, x_3 \in X$:

   $$(x_1 \circ x_2) \circ x_3 = x_1 \circ (x_2 \circ x_3)$$

Композиция Функций

Определение: На множестве функций определена операция композиции. Если $g: X \to Y$ и $f: Y \to Z$, то композиция $f \circ g$ — это функция из $X$ в $Z$, определяемая как:

$$(f \circ g)(x) = f(g(x))$$

Эта операция означает, что сначала к $x$ применяется функция $g$, а затем к результату $g(x)$ применяется функция $f$.

Ассоциативность композиции функций: Операция композиции функций ассоциативна. То есть, для функций $f, g, h$:

$$(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$$

Доказательство: Пусть $x$ — произвольный элемент из области определения $h$.

$$((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ g)(h(x)) = f(g(h(x)))$$ $$(f \circ (g \circ h))(x) = f((g \circ h)(x)) = f(g(h(x)))$$

Так как результаты совпадают для любого $x$, операции равны.

Некоммутативность композиции функций: Операция композиции функций, вообще говоря, не коммутативна. Упражнение: Придумать пример функций $f$ и $g$ таких, что $f \circ g \neq g \circ f$.

Индуктивное Определение Сложения на Натуральных Числах

Мы определили натуральные числа с помощью аксиом Пеано, но эти аксиомы не включают операции сложения или умножения. Чтобы ввести их, мы используем индуктивные определения.

Определение сложения $n+m$ для $n, m \in \mathbb{N}$: Мы хотим определить функцию $f_n: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ для каждого $n \in \mathbb{N}$, которая будет "добавлять $m$ к $n$".

1. $f_n(1) = n+1$ (где $n+1$ обозначает следующий элемент за $n$ по аксиомам Пеано).
2. $f_n(m+1) = f_n(m) + 1$.

Утверждение: Для всякого $n \in \mathbb{N}$ существует единственная функция $f_n: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, удовлетворяющая этим двум условиям. После доказательства этого утверждения, мы определим сложение как:

$$n+m = f_n(m)$$

Доказательство Единственности $f_n$

Предположим, существуют две такие функции: $f_n$ и $g_n$.

1. $f_n(1) = n+1$ и $g_n(1) = n+1 \Rightarrow f_n(1) = g_n(1)$.
2. $f_n(m+1) = f_n(m)+1$ и $g_n(m+1) = g_n(m)+1$. Докажем по индукции по $m$, что $f_n(m) = g_n(m)$ для всех $m \in \mathbb{N}$.

• База индукции ($m=1$): $f_n(1) = g_n(1)$ (уже показано).
• Шаг индукции: Предположим, $f_n(m) = g_n(m)$ для некоторого $m$. Тогда $f_n(m+1) = f_n(m)+1 = g_n(m)+1 = g_n(m+1)$. Следовательно, $f_n(m) = g_n(m)$ для всех $m \in \mathbb{N}$. Единственность доказана.

Доказательство Существования $f_n$

Докажем существование по индукции по $n$.

• База индукции ($n=1$): Нам нужно определить $f_1(m)$. Определим ее как $f_1(m) = m+1$. Проверим условия:

  1. $f_1(1) = 1+1$ (следующий за 1). Это соответствует условию $f_n(1) = n+1$ для $n=1$.
  2. $f_1(m+1) = (m+1)+1$. По определению $f_1(m) = m+1$, значит $f_1(m)+1 = (m+1)+1$. Таким образом, $f_1(m+1) = f_1(m)+1$. Второе условие выполнено. Следовательно, для $n=1$ такая функция существует. Заметим, что из этого определения следует $1+m = m+1$.

• Шаг индукции: Предположим, что для некоторого $n$ функция $f_n$ существует. Построим функцию $f_{n+1}(m)$. Определим ее как $f_{n+1}(m) = f_n(m)+1$. Проверим условия для $f_{n+1}$:

  1. $f_{n+1}(1) = f_n(1)+1$. По предположению индукции, $f_n(1) = n+1$. Значит, $f_{n+1}(1) = (n+1)+1$, что является следующим элементом за $n+1$. Это соответствует условию $f_k(1)=k+1$ для $k=n+1$.
  2. $f_{n+1}(m+1) = f_n(m+1)+1$. По предположению индукции для $f_n$, $f_n(m+1) = f_n(m)+1$. Значит, $f_{n+1}(m+1) = (f_n(m)+1)+1$. По нашему определению $f_{n+1}(m) = f_n(m)+1$. Следовательно, $f_{n+1}(m+1) = f_{n+1}(m)+1$. Второе условие выполнено. Таким образом, по принципу математической индукции, такая функция $f_n$ существует для любого $n \in \mathbb{N}$.

Упражнение: Доказать, что определенное таким образом сложение является ассоциативным и коммутативным:

1. $(n+m)+k = n+(m+k)$ (ассоциативность)
2. $n+m = m+n$ (коммутативность)

Умножение на Натуральных Числах

Аналогичным образом можно ввести умножение на натуральных числах, используя индуктивное определение:

1. $n \cdot 1 = n$
2. $n \cdot (m+1) = (n \cdot m) + n$ Подобно сложению, можно доказать существование и единственность такой операции, а также ее ассоциативность и коммутативность.

Целые Числа

Определение: Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ определяется как объединение натуральных чисел $\mathbb{N}$, символа $0$ (нуля) и множества символов вида $-n$ для каждого $n \in \mathbb{N}$.

$$\mathbb{Z} = \mathbb{N} \cup \{0\} \cup \{-n \mid n \in \mathbb{N}\}$$

Операции сложения и умножения на $\mathbb{Z}$ вводятся на основе операций над $\mathbb{N}$ и правил знаков, как это изучалось в школе.

Отношение Эквивалентности

Определение Отношения Эквивалентности

Подмножество $R \subseteq X \times X$ называется отношением эквивалентности, если оно удовлетворяет следующим трем свойствам для любых $x, y, z \in X$:

1. Рефлексивность: $(x, x) \in R$ (каждый элемент эквивалентен самому себе).
2. Симметричность: Если $(x, y) \in R$, то $(y, x) \in R$.
3. Транзитивность: Если $(x, y) \in R$ и $(y, z) \in R$, то $(x, z) \in R$. Вместо $(x, y) \in R$ часто пишут $x \sim y$.

Примеры отношений эквивалентности:

• Равенство треугольников в геометрии: Два треугольника равны, если их можно совместить наложением.
• Сравнение по модулю: Для натурального числа $M > 1$, два целых числа $n$ и $k$ эквивалентны, если $n-k$ делится на $M$. Это означает, что $n$ и $k$ дают одинаковый остаток при делении на $M$.
  • Рефлексивность: $n-n=0$, делится на $M$.
  • Симметричность: Если $n-k$ делится на $M$, то $k-n = -(n-k)$ также делится на $M$.
  • Транзитивность: Если $n-k$ делится на $M$ и $k-l$ делится на $M$, то $(n-k)+(k-l) = n-l$ также делится на $M$. Пример: четные и нечетные числа — это классы эквивалентности по модулю 2.

Классы Эквивалентности и Фактор-Множество

Определение Класса Эквивалентности: Для элемента $a \in X$, класс эквивалентности $R(a)$ — это множество всех элементов $x \in X$, которые эквивалентны $a$:

$$R(a) = \{ x \in X \mid x \sim a \}$$

$a$ называется представителем класса эквивалентности.

Важное утверждение: Если два класса эквивалентности пересекаются, то они совпадают. Доказательство: Пусть $R(a)$ и $R(b)$ — два класса эквивалентности, и пусть $c$ принадлежит их пересечению $R(a) \cap R(b)$. Тогда $c \sim a$ и $c \sim b$. Из симметричности: $a \sim c$. Из транзитивности: $a \sim c$ и $c \sim b \Rightarrow a \sim b$. Теперь покажем, что $R(a) = R(b)$.

• Пусть $x \in R(a) \Rightarrow x \sim a$. Поскольку $a \sim b$, то по транзитивности $x \sim b \Rightarrow x \in R(b)$. Значит $R(a) \subseteq R(b)$.
• Пусть $x \in R(b) \Rightarrow x \sim b$. Поскольку $b \sim a$ (из симметричности $a \sim b$), то по транзитивности $x \sim a \Rightarrow x \in R(a)$. Значит $R(b) \subseteq R(a)$. Следовательно, $R(a) = R(b)$.

Это означает, что отношение эквивалентности разбивает множество $X$ на непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности).

Определение Фактор-Множества: Множество всех классов эквивалентности называется фактор-множеством и обозначается $X/\sim$. Фактор-множество позволяет рассматривать каждый класс эквивалентности как один "элемент".

Примеры использования фактор-множества:

• Геометрия:
  • Из цилиндра можно получить конус, отождествив все точки одного из оснований в одну точку.
  • Из листа бумаги можно получить лист Мёбиуса, отождествив противоположные края с поворотом.
  • Из листа бумаги можно получить тор, отождествив противоположные края попарно.

Рациональные Числа

Построение Рациональных Чисел ($\mathbb{Q}$): Рациональные числа строятся из целых чисел с помощью декартова произведения и отношения эквивалентности. Рассмотрим декартово произведение $\mathbb{Z} \times (\mathbb{N} \setminus \{0\})$, то есть пары $(m, n)$, где $m \in \mathbb{Z}$ и $n \in \mathbb{N}, n \neq 0$. Эти пары представляют собой "несокращенные" дроби $m/n$. Определим отношение эквивалентности $\sim$ на этом множестве:

$$(m, n) \sim (p, q) \quad \text{тогда и только тогда, когда} \quad mq = np$$

Это отношение эквивалентности формализует понятие равенства дробей (например, $1/2 = 2/4$).

• Рефлексивность: $(m, n) \sim (m, n)$, так как $mn = nm$.
• Симметричность: Если $(m, n) \sim (p, q) \Rightarrow mq = np \Rightarrow pn = qm \Rightarrow (p, q) \sim (m, n)$.
• Транзитивность: Если $(m, n) \sim (p, q)$ и $(p, q) \sim (r, s)$, то $mq = np$ и $ps = qr$. Умножим первое равенство на $s$, второе на $n$: $mqs = nps$ и $nps = nqr$. Отсюда $mqs = nqr$. Если $q \neq 0$, то $ms = nr$. Значит $(m, n) \sim (r, s)$.

Множество классов эквивалентности $\left( \mathbb{Z} \times (\mathbb{N} \setminus \{0\}) \right) / \sim$ называется множеством рациональных чисел и обозначается $\mathbb{Q}$. Каждый класс эквивалентности представляет собой рациональное число (дробь).

На этом этапе мы построили натуральные, целые и рациональные числа. Следующим шагом будет введение порядка (сравнения) на этих множествах, а затем построение вещественных чисел.

---

Generated by AI-powered TranscribeLecture.com • 3/9/2026